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By Elhanan Helpman

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Häufig möchte man jedoch Aussagen über die Eigenschaften des „datengenerierenden Prozesses” machen, durch den die Renditen erzeugt wurden. In diesem Zusammenhang wird man die tatsächlich beobachteten Renditen x1 , . . , xT als Realisation von Zufallsvariablen X1 , . . , XT ansehen. Wenn wir bereit sind, die heroische (und sicherlich nicht zutreffende) Annahme zu machen, dass X1 , . . , XT eine einfache Stichprobe aus X darstellt, können wir auf elementare Methoden der statistischen Inferenz zurückgreifen.

Die Wahrscheinlichkeit dieser Realisation ist für gegebenen Parameter π P (X1 = x1 , . . , XT = xT ) = π T t=1 xt (1 − π)T − T t=1 xt . 18) für das beobachtete Stichprobenergebnis X1 = x1 , . . , XT = xT maximal wird. Für feste Beobachtungen x1 , . . , xT ist also die Funktion π −→ π T t=1 xt (1 − π)T − T t=1 xt 42 2 Univariate Renditeverteilungen zu maximieren. Diese Funktion heißt Likelihood-Funktion der Beobachtungen x1 , . , xT . Man erhält das gleiche Ergebnis für π wenn man statt der Likelihood-Funktion die logarithmierte Likelihood-Funktion π −→ T t=1 xt ln π + T− T t=1 xt ln(1 − π) maximiert, da der Logarithmus eine streng monoton wachsende Funktion ist, die die Stelle des Maximums unverändert lässt.

95-Konfidenzintervalle für die erwartete Rendite (auf Tagesbasis und annualisiert) √ (¯ x − µ0 ) T √ τ= s2 und lehnt H0 ab, falls |τ | > c ist, wobei c wie oben bestimmt wird. Von besonderem Interesse ist die Nullhypothese H0 : µ = 0. Für die Renditen des obigen Beispiels kann diese Nullhypothese in keinem Fall abgelehnt werden. Die Hypothese, dass die erwarteten Jahresrenditen gleich null sind, steht für die DAX-Aktien und den DAX-Index also nicht im Widerspruch zu den empirischen Beobachtungen.

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